Pecahan biasa, pecahan wajar dan pecahan tak wajar

Pecahan kasar (atau pecahan biasa) ialah satu nombor nisbah yang ditulis dengan satu integer (pengangka) yang dibahagikan dengan satu integer bukan sifar (penyebut).

Satu pecahan kasar akan menjadi pecahan wajar apabila nilai mutlak pengangka adalah kurang dari nilai mutlak penyebut; yang menjadikan nilai mutlak keseluruhan pecahan kurang daripada 1. Pecahan kasar akan menjadi pecahan tak wajar apabila nilai mutlak pengangka adalah lebih besar atau sama dengan nilai mutlak penyebut (cth. 9⁄7).[2]

Nombor bercampur

Nombor bercampur ialah campuran nombor bulat dan pecahan wajar. Penambahan ini dinyatakan tanpa menggunakan tanda operasi seperti "+"; sebagai contoh, untuk merujuk 2 kek penuh dan 1 kek dengan tiga perempat bahagian, bahagian penuh dan bahagian pecahan itu ditulis bersebelahan. 2 + 3 4 = 2 3 4 {\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}} .

Satu pecahan tak wajar boleh digunakan untuk menyatakan satu nombor bercampur, seperti 2 3 4 {\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}} . Boleh dibayangkan yang setiap kek penuh itu dibahagikan kepada empat bahagian, menjadikan penyebut untuk kek penuh (nombor bulat) sama dengan penyebut kek yang telah dipotong, 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} . Jadi, setiap kek penuh diwakili dengan pecahan 4 4 {\displaystyle {\tfrac {4}{4}}} , jadi 4 4 + 4 4 + 3 4 = 11 4 {\displaystyle {\tfrac {4}{4}}+{\tfrac {4}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}} ialah cara lain untuk menulis nombor bercampur 2 3 4 {\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}} .

Nombor bercampur boleh ditukar menjadi pecahan tak wajar dalam tiga langkah:

1. Darabkan nombor bulat dengan penyebut pecahan.
2. Tambah pengangka pecahan pada hasil darab di atas.
3. Hasil tambah langkah 2 adalah pengangka untuk pecahan (tak wajar) baru, dengan penyebut 'baru' nya kekal sama dengan penyebut untuk pecahan asal nombor bercampur.

Sebaliknya, pecahan tak wajar juga boleh ditukar menjadi nombor bercampur:

1. Bahagikan pengangka dengan penyebut.
2. Hasil bahagi (tanpa baki) menjadi nombor bulat manakala bakinya menjadi pengangka untuk pecahan.
3. Penyebut baru untuk pecahannya adalah sama dengan pecahan tak wajar yang asal.

Pecahan setara

Dengan mendarab pengangka dan penyebut sesuatu pecahan dengan nombor yang sama (bukan sifar), hasil pecahan yang baru adalah setara dengan pecahan asal. Perkataan setara di sini bermaksud, kedua-dua pecahan memiliki nilai yang sama yang mengekalkan integriti yang sama - Perimbangan dan perkadaran yang sama. Ini adalah benar kerana mana-mana nombor n {\displaystyle n} , didarab dengan n n {\displaystyle {\tfrac {n}{n}}} adalah sama dengan pendaraban dengan satu, dan sebarang nombor yang didarab dengan satu mempunyai nilai yang sama dengan nombor asal. Contohnya, untuk pecahan 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} : apabila kedua-dua pengangka dan penyebut didarab dengan 2, hasilnya adalah 2 4 {\displaystyle {\tfrac {2}{4}}} , yang memiliki nilai yang sama (0.5) dengan 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} . Untuk gambaran lebih jelas, bayangkan kek (dalam gambar di atas) dipotong menjadi empat bahagian; 2 dari empat bahagian ini ( 2 4 {\displaystyle {\tfrac {2}{4}}} ) mewakili separuh kek ( 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ).

Contoh: 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} , 2 6 {\displaystyle {\tfrac {2}{6}}} , 3 9 {\displaystyle {\tfrac {3}{9}}} dan 100 300 {\displaystyle {\tfrac {100}{300}}} kesemuanya adalah pecahan setara.

Membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor (bukan sifar) yang sama juga menghasilkan pecahan setara. Ia dikenali sebagai mengurangkan atau memudahkan pecahan. Satu pecahan yang pengangka dan penyebutnya tidak mempunyai faktor yang sama (selain 1) adalah dianggap tidak boleh dimudahkan dan berada dalam bentuk termudah atau sebutan terendah. Sebagai contoh, 3 9 {\displaystyle {\tfrac {3}{9}}} bukanlah satu pecahan termudah kerana 3 dan 9 mempunyai faktor yang sama iaitu 3. Sebaliknya, 3 8 {\displaystyle {\tfrac {3}{8}}} ialah pecahan termudah kerana satu-satunya faktor untuk 3 dan 8 ialah 1.

Salingan dan "penyebut halimunan"

Salingan sesuatu pecahan ialah pecahan dengan pengangka dan penyebutnya diterbalikkan. Contohnya, salingan untuk 3 7 {\displaystyle {\tfrac {3}{7}}} , ialah 7 3 {\displaystyle {\tfrac {7}{3}}} .

Oleh kerana hasil bahagi sebarang nombor dengan 1 adalah sama dengan nombor itu, nombor bulat juga boleh ditulis dalam pecahan dengan menggunakan 1 sebagai penyebut: 17 = 17 1 {\displaystyle {\tfrac {17}{1}}} (kadang-kadang 1 dirujuk sebagai "penyebut halimunan"). Maka, kecuali untuk sifar, setiap pecahan atau nombor bulat memiliki satu salingan. Salingan untuk 17 ialah 1 17 {\displaystyle {\tfrac {1}{17}}} .

Pecahan kompleks

Pecahan kompleks (atau pecahan majmuk) ialah pecahan yang pengangka atau penyebutnya mengandungi pecahan. Contohnya, 1 2 1 3 {\displaystyle {\cfrac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}} dan 12 3 4 26 {\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}} merupakan pecahan kompleks. Untuk memudahkan satu pecahan kompleks, bahagikan pengangka dengan penyebut seperti dalam pecahan yang lain (lihat bahagian pembahagian untuk keterangan lebih lanjut):

1 2 1 3 = 1 2 × 3 1 = 3 2 = 1 1 2 . {\displaystyle {\cfrac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\frac {1}{2}}.} 3 2 5 = 3 2 × 1 5 = 3 10 . {\displaystyle {\cfrac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}.} 8 1 3 = 8 × 3 1 = 24. {\displaystyle {\cfrac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.}